Все достаточно легко и просто.
Переходим в ContactForm, интеграция. В самом низу будет вкладка reCAPTCHA, в ней мы заносим наши данные по reCAPTCHA. На этом все.
Проверить отправку формы, если этот метод не работает, то ставим плагин "CAPTCHA integration & configuration (CAPTCHA 4WP)", и настраиваем его.